ワイブル分布を使って故障率分析してみた

信頼度工学の分野でワイブル分布を使って部品の故障率を求める方法を学んだので残しておこうと思います.

ワイブル分布とは*1

出どころ

ワイブル分布は,ある鎖を考えたときに,鎖の最も弱い部分が壊れることで鎖全体が壊れると考えた最弱リンクモデルと見なせます.

転じて,部品の劣化や寿命のモデルとして使われることが多いみたいです.

追記:

kazenoha.hatenablog.com

定義

ワイブル分布の確率密度関数PDF: $f(x)$ ,累積分布関数CDF: $F(x)$ は以下で定義されます.

\begin{align}
f(x) &= \frac{\beta}{\alpha} \left( \frac{x}{\alpha} \right)^{\beta - 1} \exp \left[ - \left( \frac{x}{\alpha} \right)^{\beta} \right] \\
F(x) &= 1 - \exp \left[ - \left( \frac{x}{\alpha} \right)^{\beta} \right]
\end{align}

ここで $\beta$ はワイブル係数(形状パラメータ), $\alpha$ は尺度パラメータと呼ばれます.

また,故障率 $\lambda (x)$ というものを定義できます.

\begin{align}
\lambda (x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = \frac{\beta}{\alpha ^ \beta} x^{\beta - 1}
\end{align}

故障率の定義は, $x$ を大きくして行ったとき,

\begin{align}
\lambda = \frac{x \mbox{ のとき故障する確率}}{\mbox{ある部品が}x\mbox{まで故障せず残っている確率}}
\end{align}

となっており,あるx時点で故障していない部品を集めて,その中の部品が故障する確率であると言えます.

私たちの持っている故障率のイメージと大体あっていますね.

手順

用いるデータ

まず架空のデータを用意しました.

f:id:kazenoha:20180520154639p:plain

状況としては,ある部品を取り替えてから故障するまでの経過時間の記録が複数存在したのでヒストグラムにしてみた.という感じです.

つまり今回のワイブル分布の変数は $x = t$ ( $t$ :経過時間)ですね.

何がしたいのか

今回すべきことは,このデータに対して,適当なワイブル分布を当てはめることです.つまり,ワイブル分布において,変数を時間 $t$ とすると,

\begin{align}
f(t) &= \frac{\beta}{\alpha} \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta - 1} \exp \left[ - \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta} \right]
\end{align}

中の $\alpha,\beta$ を動かして, $f(t)$ がデータに最も適するような $\alpha,\beta$ を求めることに相当します.

その後求めた $\alpha,\beta$ を用いて,故障率

\begin{align}
\lambda (t) = \frac{f(t)}{1 - F(t)} = \frac{\beta}{\alpha ^ \beta} t^{\beta - 1}
\end{align}

が決まるので,故障率と時間の関係から,故障の原因や部品をどの周期で交換すれば一番ベストなのか,等の考察ができます.

やってみよう

ワイブルプロット

ワイブル分布をデータにうまいこと当てはめる技をワイブルプロットというらしいので,ここでも使ってみましょう.

まず,ワイブル分布の累積分布関数CDFに着目します.

\begin{align}
F(t) &= 1 - \exp \left[ - \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta} \right]
\end{align}

ここで,先人が生み出した式変換を以下に紹介します.

\begin{align}
F(t) &= 1 - \exp \left[ - \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta} \right] \\
1 - F(t) &= \exp \left[ - \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta} \right] \\
\ln{ \left[ 1 - F(t) \right] } &= - \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta} \\
- \ln{ \left[ 1 - F(t) \right] } &= \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta} \\
\ln{ \left[ \frac{1}{1 - F(t)} \right] } &= \left( \frac{t}{\alpha} \right)^{\beta} \\
\ln{\left[ \ln{ \left[ \frac{1}{1 - F(t)} \right] } \right]} &= \beta \ln{t} - \beta \ln{\alpha} \\
\end{align}

これは

\begin{align}
Y &= a X + b \\
Y &= \ln{\left[ \ln{ \left[ \frac{1}{1 - F(t)} \right] } \right]} \\
X &= \ln{t} \\
a &= \beta \\
b &= - \beta \ln{\alpha}
\end{align}

の形のなっていますね.

つまり,ワイブル分布中の $\alpha,\beta$ をデータから求めるときは,最小二乗法を使えば良いことがわかります.

最小二乗法に関しては,前回の記事

kazenoha.hatenablog.com

を参考にしてみてください.

まあ具体的にやってみましょう.

まずデータを累積確率に変換します

f:id:kazenoha:20180521224348p:plain